牛顿－莱布尼茨公式

牛顿-莱布尼茨公式的意义就在于把不定积分与定积分联系了起来，也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法。

1670年，英国数学家伊萨克·巴罗在他的著作《几何学讲义》中以几何形式表达了切线问题是面积问题的逆命题，这实际是牛顿-莱布尼茨公式的几何表述。 

1666年10月，牛顿在它的第一篇微积分论文《流数简论》中解决了如何根据物体的速度求解物体的位移这一问题，并讨论了如何根据这种运算求解曲线围成的面积，首次提出了微积分基本定理。 

德国数学家莱布尼茨在研究微分三角形时发现曲线的面积依赖于无限小区间上的纵坐标值和，1677年，莱布尼茨在一篇手稿中明确陈述了微积分基本定理：给定一个曲线，其纵坐标为y，如果存在一条曲线z，使得dz/dx=y，则曲线y下的面积∫ydx=∫dz=z。

面就是该公式的证明全过程：

我们知道，对函数f(x)于区间【a,b】上的定积分表达为：

b(上限)∫a（下限）f(x)dx

现在我们把积分区间的上限作为一个变量，这样我们就定义了一个新的函数：

Φ(x)=x(上限)∫a（下限）f(x)dx

但是这里x出现了两种意义，一是表示积分上限，二是表示被积函数的自变量，但定积分中被积函数的自变量取一个定值是没意义的。为了只表示积分上限的变动，我们把被积函数的自变量改成别的字母如t，这样意义就非常清楚了：

Φ(x)=x(上限)∫a（下限）f(t)dt

接下来我们就来研究这个函数Φ(x）的性质：

1、定义函数Φ(x)=x(上限)∫a（下限）f(t)dt，则Φ’(x)=f(x)。

证明：让函数Φ(x)获得增量Δx，则对应的函数增量

ΔΦ=Φ(x+Δx)-Φ(x)=x+Δx(上限)∫a（下限）f(t)dt-x(上限)∫a（下限）f(t)dt

显然，x+Δx(上限)∫a（下限）f(t)dt-x(上限)∫a（下限）f(t)dt=x+Δx(上限)∫x（下限）f(t)dt

而ΔΦ=x+Δx(上限)∫x（下限）f(t)dt=f(ξ)•Δx(ξ在x与x+Δx之间，可由定积分中的中值定理推得，

也可自己画个图，几何意义是非常清楚的。)

当Δx趋向于0也就是ΔΦ趋向于0时，ξ趋向于x，f(ξ)趋向于f(x)，故有limΔx→0ΔΦ/Δx=f(x)

可见这也是导数的定义，所以最后得出Φ’(x)=f(x)。

2、b(上限)∫a（下限）f(x)dx=F（b）-F（a），F（x）是f(x)的原函数。

证明：我们已证得Φ’(x)=f(x)，故Φ(x）+C=F（x）

但Φ(a)=0（积分区间变为【a,a】，故面积为0），所以F（a）=C

于是有Φ(x）+F（a）=F（x），当x=b时，Φ(b)=F（b)-F(a),

而Φ(b)=b(上限)∫a（下限）f(t)dt，所以b(上限)∫a（下限）f(t)dt=F（b)-F(a)

把t再写成x，就变成了开头的公式，该公式就是牛顿-莱布尼茨公式。

牛顿在1671年写了《流数法和无穷级数》，这本书直到1736年才出版，它在这本书里指出，变量是由点、线、面的连续运动产生的，否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合。他把连续变量叫做流动量，把这些流动量的导数叫做流数。牛顿在流数术中所提出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度（微分法）；已知运动的速度求给定时间内经过的路程（积分法）。

牛顿-莱布尼茨公式的发现，使人们找到了解决曲线的长度，曲线围成的面积和曲面围成的体积这些问题的一般方法。它简化了定积分的计算，只要知道被积函数的原函数，总可以求出定积分的精确值或一定精度的近似值。

牛顿-莱布尼茨公式是联系微分学与积分学的桥梁，它是微积分中最基本的公式之一。它证明了微分与积分是可逆运算，同时在理论上标志着微积分完整体系的形成，从此微积分成为一门真正的学科。 

牛顿-莱布尼茨公式是积分学理论的主干，利用牛顿一莱布尼茨公式可以证明定积分换元公式，积分第一中值定理和积分型余项的泰勒公式。牛顿-莱布尼茨公式还可以推广到二重积分与曲线积分，从一维推广到多维。 

牛顿-莱布尼茨公式简化了定积分的计算，利用该公式可以计算曲线的弧长，平面曲线围成的面积以及空间曲面围成的立体体积，这在实际问题中有广泛的应用，例如计算坝体的填筑方量。   

牛顿-莱布尼茨公式在物理学上也有广泛的应用，计算运动物体的路程，计算变力沿直线所做的功以及物体之间的万有引力。 

牛顿-莱布尼茨公式促进了其他数学分支的发展，该公式在微分方程，傅里叶变换，概率论，复变函数等数学分支中都有体现。